В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали АС и BD равны 12 и 10 соответственно

: Категория: Задачи по планиметрии

В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали АС и BD равны 12 и 10 соответственно. Найдите площадь трапеции, если угол САВ в два раза меньше угла ABD.

Решение:

Пусть АС = 12; DB = 10; угол ОАВ = х, тогда угол ОВА = 2х (см. рисунок).

1. Высоту трапеции можно найти как АС · sinx. Пусть 2х = 90°, тогда DB - высота трапеции. И, значит, АС = sinx = 12√2/2 = 6√2 ≠ 10 = DB. Следовательно, 2х ≠ 90°.

2. Если 2х > 90°, то высота трапеции будет равна DBsin(180° − 2x) = DBsin2x. Если 2х < 90°, то высота трапеции будет равна DBsin2x. Тогда, с учетом п. 1 , получаем АСsinx = DBsin2x; 12sinx = 10sin2x.

3. S_ADCB = 0,5AC · DBsinAOB =0,5 · 12 · 10sin(180° − (x + 2x)) = 60sin3x.

Найдем sin3x = sin(2x + x) = sin2xcosx + cos2xsinx = 2sinxcos²x + cos²xsinx − sin³x = 3cos²xsinx − sin³x = 108/125 − 64/125 = 44/125.

Следовательно, S_ADCB = 60 · 44/125 = 21,12.

Ответ: 21,12.