В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали АС и BD равны 18 и 16 соответственно. На диагонали АС как на диаметре построена окружность, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите длину АК, если известно, что угол САВ в два раза меньше угла ABD.

  Решение:

  1. Пусть О - центр окружности с диаметром АС. АО = КО как радиусы, значит, треугольник АОК равнобедренный. Проведем высоту ОМ, тогда ОМ - медиана в треугольнике КОА => АК = 2АМ = 2АОcosα = 18cosα (см. рисунок).

  2. В трапеции ABCD проведем высоты DF и СК (угол СКА = 90° как опирающийся на диаметр АС). Пусть 2α = 90°, тогда DB совпадает с высотой DF = FK. И, значит, СК = DB. Но тогда СК = 18cosα = 18cos45° = 9√2 ≠ 16 = DB. Следовательно, 2α ≠ 90°. Из треугольника АКС: СК = АСsinα = 18sinα. Из треугольника BFD получаем:

  1) если 2α < 90°, то DF = BDsin2α = 16sin2α;

  2) если 2α > 90°, то DF = BDsin(180° − 2α) = BDsin2α = 16sin2α.

  Тогда СК = DF; 18sinα = 32sinαcosα; cosα = 9/16.

  3. AK = 18 · 9/16 = 81/8 = 10,125.

  Ответ: 10,125.