В параллелограмме ABCD проведена высота СН к стороне AD. Косинус угла А равен −√5/5, а сторона АВ равна 2√5. Прямая ВН делит диагональ АС в отношении 3 : 5, считая от вершины А. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

  Решение:

  Косинус угла В равен cos(180° − угол А) = − cos A = √5/5 (см. рисунок).

  Пусть АН₁ - высота параллелограмма, проведенная к стороне СВ.

  ВН₁ = 2√5 · cos B = 2;

  AH₁ = CH = 4.

  Так как Δ АНК подобен Δ КВС, то АК/КС = АН/ВС = 3/5. Пусть АН = 3х, тогда ВС = 5х. Так как четырехугольник АНСН₁ является прямоугольным, то АН = СН₁ = 3х => ВН₁ = ВС − СН₁ = 2х = 2 => х = 1, ВС = 5.

  S_ABCD = BC · AH₁ = 5 · 4 = 20.

  Ответ: 20.