В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке N и прямую ВС в точке М. Найдите длину отрезка CN, если DC = 3√3, MD = 9, BN = √3.

  Решение:

  Углы CDN и DNA - равны (как накрест лежащие), углы CDN и NDA равны (DN - биссектриса угла D). Следовательно, углы ADN и DNA - равны. Значит, треугольник ADN - равнобедренный (см. рисунок).

  AD = AN = AB − BN = DC − BN = 3√3 − √3 = 2√3, углы ADN и BMN - равны (как накрест лежащие), углы BNM и DNA - равны (вертикальные). Так как углы NDA и DNA - равны, то и углы BNA и BMN - равны. Следовательно, треугольник NBM - равнобедренный.

  BN = BM = √3. Треугольник DCM подобен треугольнику NBM (по двум углам: угол М - общий, углы CDM и BNM - соответственные), DC/BN = DM/NM.

NM = (BN · DM)/DC, NM = 3.

  Из треугольника BNM по теореме косинусов:

MN² = BN² + BM² − 2BN · BM · cos NBM

cos NBM = −1/2

угол NBM = 120°.

  Угол NBC = 180° − 120° = 60°. Из треугольника CBN по теореме косинусов:

CN² = BC² + BN² − 2BC · BN · cos NBC

CN² = 9

CN = 3.

  Ответ: 3.