В треугольнике АВС проведена биссектриса AD угла ВАС, равного 60°. Известно, что ВС = 6; CD = 2. Определите градусную меру угла АВС.
Решение:
Так как AD - биссектриса угла ВАС (см. рисунок), то АС/АВ = DC/DB = 2/4 = 1/2.
Поэтому можем обозначить АВ = 2х, АС = х, х > 0. Из треугольника АВС по теореме косинусов:
ВС2 = АВ2 + АС2 − 2АВ · АС cosBAC;
36 = 4x2 + x2 − 2 · 2x · x · 1/2.
Отсюда х = 2√3. Теперь все стороны треугольника АВС известны. По теореме, обратной теореме Пифагора, так как (2√3)2 + 62 = (4√3)2 - истинное равенство, то треугольник АВС является прямоугольным и катет АС равен половине гипотенузы АВ. Значит, угол АВС = 30°.
Ответ: 30.
