Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения

3ⁿ − 2^m = 1.

 

  Решение:

  1 способ.

  При n = 1 и m = 1, при n = 2 и m = 3 это равенство верно, других решений при n = 1 и n = 2 нет.

  Предположим, что найдётся такое натуральное число n ≥ 3, что справедливо равенство 3ⁿ − 1 = 2^m. Тогда 2^m делится на 8.

  Так как при делении на 8 числа 3ⁿ остатки равны 3, 1, 3, 1, ..., а числа 3ⁿ − 1 - равны 2, 0, 2, 0, ..., то 3ⁿ − 1 делится на 8 только при чётных n. Обозначим n = 2k, где k - натуральное число. Тогда равенство 3ⁿ − 1 = 2^m можно записать так:

(3^k − 1)(3^k + 1) = 2^m,

  откуда следует, что каждый из множителей (3^k − 1) и (3^k + 1) является степенью числа 2, т.е.

3^k + 1 = 2^p

и

3^k − 1 = 2^q,

  где p и q натуральные числа, p > q. Вычитая из первого равенства второе, получим, что

2 = 2^q · (2^{p − q} − 1),

  а это равенство справедливо лишь при p = 2 и q = 1 (с увеличением q число 2^q будет больше 2, а наименьшее значение второго множителя 1). Тогда k = 1, n = 2. Мы получили противоречие с условием n > 3, следовательно, других значений n не существует.

 

  2 способ.

  Предположим, что найдётся такое чётное натуральное число n = 2k, что справедливо равенство

3^2k − 2^m = 1.

  Тогда справедливо равенство

(3^k − 1)(3^k + 1) = 2^m.

  Множители в левой части этого равенства отличаются на 2 и являются степенями двойки:

3^k − 1 = 2^p,   3^k + 1 = 2^p + 2.

  Равенство

2^{p + 1}(2^{p − 1} + 1) = 2^m

  справедливо лишь при р = 1, тогда m = 3 и n = 2 отвечают условиям задачи, а при р > 1 второй множитель - нечётное число, поэтому равенство неверно.

  Так как m = n = 1 отвечают условиям задачи, то предположим, что найдётся другое нечётное натуральное число

n = 2k + 1, n > 1,

  для которого справедливо равенство

3^{2k + 1} − 2^m = 1.

  Тогда справедливо равенство

3^{2k + 1} − 3 = 2^m − 2

или равенство

3(3^k − 1)(3^k + 1) = 2(2^{m − 1} − 1).

  В левой части этого равенства есть два чётных множителя, т.е. левая часть равенства делится на 4, а правая часть равенства делится на 2, но не делится на 4, так как второй множитель - нечётное число при любом m > 1 (при m = 1 равенство неверно).

  Следовательно, для нечётных n > 1 исходное равенство неверно.

  Ответ: n = 1, m = 1 и n = 2 и m = 3.