Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения

2^m − 3ⁿ = 1.

  Решение:

  При m = 1 равенство 2^m = 3ⁿ + 1 неверно при любых натуральных значениях n. При m = 2 равенство 2^m = 3ⁿ + 1 верно лишь при n = 1.

  Предположим, что найдётся пара натуральных чисел m > 2 и n, для которой равенство 2^m = 3ⁿ + 1 верно. Тогда левая часть равенства - число 2^m - делится на 8, а число 3ⁿ при делении на 8 дает повторяющиеся остатки 3 и 1, поэтому число 3ⁿ + 1 при делении на 8 дает повторяющиеся остатки 4 и 2. Это означает, что не существует таких натуральных чисел m > 2 и n, при которых равенство 2^m − 3ⁿ = 1 верно.

  Ответ: m = 2 и n = 1.