Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых состоит из различных (не менее двух) цифр одной чётности и которые являются точными квадратами.
Решение:
Пусть искомое число N = a2, где а - натуральное число. При а ≤ 9 имеем для N значения 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Условию удовлетворяет только 64. Если а ≥ 10, то представим а в виде
а = 10n + k,
где
0 ≤ k ≤ 9.
Тогда
N = (10n + k)2 = (5n2 + nk)20 + k2.
У числа (5n2 + nk)20 последняя цифра 0, а предпоследняя чётная. Поэтому, чтобы у N две последние цифры были одинаковой чётности, надо, чтобы у числа k2 обе цифры были одинаковой чётности. Проверяя, видим, что подходят только 02 = 00, 22 = 04, 82 = 64. Если k = 0, то N делится на 100 и у N совпадают две последние цифры. Поэтому k = 2 или k = 8, значит, N оканчивается на 4 и, следовательно, все цифры в N чётные.
Допустим, что в записи числа N встречаются (по одному разу) все чётные цифры 0, 2, 4, 6, 8. Тогда сумма цифр числа N равна 20, а числа N − 1 равна 19, то есть в обоих случаях не делится на 3. Тогда (по известному признаку) сами числа N и N − 1 не делятся на 3. Но из трёх последовательных чисел а − 1, а, а + 1 хотя бы одно делится на 3. Поэтому, либо N = a2, либо
N − 1 = (a − 1)(a + 1)
должно делиться на 3. Следовательно, в N не более 4 цифр и N < 104. Отсюда а < 102.
Далее проще всего перебором вычислить а2 при а = 12, 22, ..., 92, 18, 28, ..., 98. При этом подходит только 782 = 6084.
Ответ: 64, 6084.
