Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.

  Решение:

  Так как каждое из чисел, принадлежащих А, должно быть делителем 210 = 2·3·5·7, то все числа из А состоят только из простых сомножителей 2, 3, 5, 7, входящих в эти числа в степени, не выше первой. По условию произведение всех чисел делится на 1920 = 2⁷·3·5. Ввиду сказанного это означает, что среди чисел, составляющих А, должно быть по крайней мере 7 чётных чисел. Но существует только 8 чётных чисел, удовлетворяющих указанным выше условиям для простых делителей, а именно: 2, 2·3 = 6, 2·5 = 10, 2·7 = 14, 2·3·5 = 30, 2·3·7 = 42, 2·5·7 = 70, 2·3·5·7 = 210.

  Если число 2 входит в А, то любой другой элемент А должен делиться на 2, ведь по условию любые два числа из А имеют общий делитель, отличный от 1. Так как число элементов в А не меньше 8, то в этом случае А состоит из всех 8-и перечисленных чётных чисел. Но легко убедиться, что в этом случае произведение всех чисел, входящих в А, есть полный квадрат 2⁸·3⁴·5⁴·7⁴, а это запрещено условием.

  Следовательно, число 2 не принадлежит А, тогда остальные 7 чётных чисел (6, 10, 14, 30, 42, 70, 210) должны содержаться в А. Однако чисел в А должно быть больше, следовательно, есть в А и нечётные числа. Существует только семь нечётных чисел, удовлетворяющих указанным выше условиям для простых делителей (состоящих из простых сомножителей 3, 5 и 7 в степени не выше первой), из них только 105 = 3·5·7 имеет отличные от единицы делители с каждым из семи чётных чисел, входящих в А.

  Ответ: А состоит из чисел: 6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210.