Найдите все пары натуральных чисел m и k, удовлетворяющих равенству
m! = k2 − 24k + 97.
Решение:
Выделяя в правой части полный квадрат, получаем
m! = (k − 12)2 − 47,
или
m! + 47 = (k − 12)2.
Если m ≥ 3, то m! делится на 3, а 47 дает остаток 2. При делении же на 3 правой части (квадрата целого числа) можно получить в остатке либо 0, либо 1, поэтому в этом случае решений нет. Осталось рассмотреть m = 1 (убеждаемся, что здесь нет решения) и m = 2, в этом случае
(k − 12)2 = 49,
и мы получаем:
m = 2, k = 5; m = 2, k = 19.
Ответ: m = 2, k = 5; m = 2, k = 19.
