Натуральные числа m и n таковы, что и m³ + n, и m + m³ делится на m² + n². Найдите m и n.

 

  Решение:

  Так как каждое из чисел m³ + n и m + m³ делится на m² + n², то их разность m − n тоже делится на m² + n², т.е. справедливо равенство

m − n = x(m² + n²),       (1)

где х - целое число.

  Если m > n, то х - натуральное число и справедливы неравенства

m² > m

n² ≥ n

m² + n² > m + n > m − n

  и равенство (1) невозможно.

  Если m < n, то верно равенство

n − m = −x(m² + n²),         (2)

  где −х - натуральное число.

  Так как для натуральных чисел m и n справедливы неравенства

m² > m

n² ≥ n

m² + n² > m + n > n − m,

  то равенство (2) невозможно.

  Следовательно, m = n.

  Перепишем условие задачи

"m + m³ делится на m² + n²"

(т.е. на 2m²) в виде

m + m³ = 2ym² ,         (3)

  где у - натуральное число.

  Разделив равенство (3) на натуральное число m, получим равенство

1 + m² = 2ym,

  которое перепишем в виде

(2y − m)m = 1.          (4)

  Для натуральных чисел m и 2у − m равенство (4) верно лишь при условии m = 1 и у = 1. Мы получили единственное решение задачи:

m = n = 1.

 

  Ответ: m = n = 1.