Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?

  Решение:

  Искомое произведение нескольких простых чисел должно быть чётным, поскольку оно делится на каждый простой множитель, уменьшенный на 1. Следовательно, первый простой множитель р₁ = 2. Вторым по величине простым множителем может быть только р₂ = 3, иначе произведение р₁р₂ не разделится на (р₂ − 1). Итак, первое произведение найдено: р₁р₂ = 6. Пусть имеется ещё некоторый простой множитель р₃. Так как р₃ и (р₃ − 1) - взаимно простые числа, то на (р₃ − 1) должно разделиться р₁р₂, равное 6. Получаем, что р₃ = 7. Тогда второе произведение есть р₁р₂р₃ = 42.

  При подборе р₄ возможностей больше: ведь на число (р₄ − 1) должно разделиться произведение трёх чисел р₁р₂р₃ = 42. Но (р₂р₃ + 1) - чётное число, р₁р₃ + 1 = 15 - составное, варианты без р₃ уже использованы при подборе того же р₃. Удаётся подобрать р₄ = р₁р₂р₃ + 1 = 43. Получаем третье возможное произведение р₁р₂р₃р₄ = 1806.

  Подобрать ещё хотя бы один множитель р₅ уже не удаётся. Пробуя все возможные комбинации из уже отобранных простых чисел так, чтобы их произведение делилось на р₅ − 1, получаем составные числа.

  Так, р₁р₂р₃р₄ + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 139 · 13 - составное число.