При каком наименьшем натуральном n число 2009! не делится на nⁿ?

  Решение:

  Количество натуральных чисел, не превосходящих 2009 и делящихся на n, равно

  где [x] - целая часть числа х.

  Так как

  то при всех натуральных n таких, что n ≤ 44, среди чисел 1, 2, .... , 2009, чисел, делящихся на n, будет больше, чем n.

  Поэтому число

2009! = 1 · 2 · 3 · ... · 2009

  делится на каждое из чисел nⁿ при n = 1, 2, ... , 44.

  Теперь рассмотрим n = 45.

  Поэтому среди чисел 1, 2, ... , 2009, есть 44 числа вида 45k, учтя ещё, например, произведение чисел 5 и 9, убеждаемся, что 2009! делится на 45⁴⁵.

  Рассуждая так же для n = 46, получаем, что есть 43 числа вида 46k. Учтя ещё произведение

8 · 23 · 69 · 115 = 2³ · 3 · 5 · 23³ = 46³ · 15,

  получим, что 2009! делится на 46⁴⁶.

  Далее следует n = 47 - простое число, поэтому среди чисел 1, 2, ... , 2009 будет только 42 числа, делящихся на 47. Это числа вида 47k. Самое большое из них -

47 · 42 = 1974.

  Поэтому 2009! делится на 47⁴² и не делится на 47⁴³, тем более не делится на 47⁴⁷.

  Итак, 47 - наименьшее натуральное n такое, что число 2009! не делится на nⁿ.

  Ответ: 47.