Дан цилиндр. Отрезки АА₁ и СС₁ - его образующие, АВ и CD - диаметры основания, причём АВ и CD перпендикулярны. На образующей АА₁ взята точка М так, что А₁М = 6. На образующей СС₁ взята точка N так, что C₁N : NC = 5 : 3. Найдите косинус угла ANM, если радиус основания цилиндра равен 6√2, а его высота равна 24.

  Решение:

  АМ = А₁А − А₁М = 18; C₁N/CN = 5/3; C₁N = 5CN/3. CC₁ = C₁N + CN = 8CN/3 = 24, отсюда CN = 24/8 · 3 = 9; C₁N + 24 − 9 = 15.

угол NCA = 90° (см. рисунок) =>

  Опустим перпендикуляр из N на АМ в точку N₁. Треугольники ANC и ANN₁ - равны (т.к. AN - общая, углы ACN и AN₁N - равны, углы ANC и NAN₁), значит, AN₁ = NC = 9. N₁M = AM − AN₁ = 9, =>

  По теореме косинусов из треугольника AMN:

AM² = AN² + NM² − 2AN · MN · cos α;

324 = 450 − 450 · cos α,

cos α = 0,28.

  Ответ: 0,28.