Высота прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 10. Расстояние от вершины А до плоскости А₁ВС равно 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью А₁ВС, если ВС = 16.

  Решение:

  1. Сечение А₁ВС разбивает призму АВСА₁В₁С₁ на две пирамиды АА₁ВС и А₁ВВ₁С₁С (см. рисунок).

  Пусть V - объем призмы, V₁ - объем пирамиды АА₁ВС, V₂ - объем пирамиды А₁ВВ₁С₁С. По свойству объемов V = V₁ + V₂.

  2. Проведем АМ перпендикулярно ВС, тогда А₁М перпендикулярно ВС. Обозначим АМ = h,

  Проведем ММ₁ параллельно АА₁, тогда АМ перпендикулярен ММ₁, значит, АМ перпендикулярен ВВ₁С₁, А₁М₁ параллелен АМ => А₁М₁ перпендикулярен ВВ₁С₁, А₁М₁ = АМ = h.

  3. Найдем V, V₁, V₂.

V = S_ABC · AA₁ = 1/2 · 16 · h · 10 = 80h;

  Найденные значения объемов подставим в формулу V = V₁ + V₂.

  Положительный корень этого уравнения h = 7,5.

  4. Найдем площадь сечения:

  Ответ: 100.