В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ = 2 и ВС = 4. На ребре АА₁ выбрана точка К так, что А₁К = 4, а на ребре ВВ₁ - точка L так, что B₁L = 3. Найдите площадь сечения, проходящего через точки K, L и D₁.

  Решение:

  1. Сечение KLPD₁ является трапецией, так как PL и KD₁ - параллельны (см. рисунок).

  2. Треугольник KA₁D₁ - прямоугольный =>

  3. Треугольники LB₁P и KA₁D₁ - подобны, следовательно

PL/KD₁ = B₁L/A₁K => PL = (B₁L · KD₁)/A₁K = 3√2.

  4. ВС = A₁D₁ = 4, A₁K = 4 по условию => Δ A₁KD₁ - равнобедренный. Треугольники A₁KD₁ и B₁PL₁ - подобны, следовательно B₁L = B₁P => A₁D₁PB₁ = A₁KLB₁, значит, D₁P = KL => KLPD₁ - равнобочная трапеция. Пусть РН перпендикулярен D₁K, тогда

  Треугольник PD₁C₁ - прямоугольный =>

  Треугольник PHD₁ - прямоугольный =>

  5. S_KLPD1 = 1/2 · (KD₁ + PL) · PH = 10,5.

  Ответ: 10,5.