Высота прямой призмы АВСА1В1С1 с основанием АВС равна 12. Угол между прямыми ВС₁ и АС равен 90°, а синус угла между прямыми А₁В и АС равен 4√10/13. Найдите тангенс угла между плоскостью ВС₁А и плоскостью АВС, если А₁В = 13.

  Решение:

  1. Так как АС перпендикулярен ВС₁ и АС перпендикулярен СС₁, то АС перпендикулярен ВСС₁. Следовательно, АС перпендикулярен ВС и А₁С₁ перпендикулярен ВС₁, то есть треугольники АСВ и А₁С₁В₁ - прямоугольные (см. рисунок).

  2. Из прямоугольного треугольника АВА₁ по теореме Пифагора находим:

  Так как АС параллелен А₁С₁, то угол между прямыми А₁В и АС равен углу между прямыми А₁В и А₁С₁. По этому из условия задачи следует, что sin ВА₁С₁ = 4√10/13. Из треугольника А₁ВС₁ находим:

ВС₁ = А₁В · sin ВА₁С₁ = 13 · 4√10/13 = 4√10

и

  Так как АС = А₁С₁, то из треугольника АВС имеем:

  3. Пусть СН - высота треугольника АВС, тогда по теореме о трёх перпендикулярах С₁Н перпендикулярен АВ. Так как АВ - линия пересечения плоскостей ВС₁А и АВС и АВ перпендикулярен СС₁Н, то угол между плоскостями ВС₁А и АВС равен углу С₁НС.

  4. Так как 2S_ABC = ВС · АС = АВ · СН, то СН = (ВС · АС)/АВ = 12/5.

  Из прямоугольного треугольника С₁СН находим: tg С₁НС = СС₁/СН = 5.

  Ответ: 5.