Высота прямой призмы АВСА1В1С1 с основанием АВС равна 3. Угол между прямыми ВС1 и АС равен 90°, а синус угла между прямыми А1В и АС равен √21/5. Найдите градусную меру угла между плоскостью АС1В и прямой СС1, если А1В = 5.

 

  План решения:

  1. Докажем, что АС перпендикулярен ВСС1 (см. рисунок).

 

  2. Найдем длины ребер призмы АВСА1В1С1.

  3. Рассмотрим такую точку Н прямой АВ, что АВ перпендикулярен СС1Н и докажем, что угол между плоскостью АС1В и прямой СС1 равен углу СС1Н.

  4. Из треугольника СС1Н найдем угол СС1Н.

 

  Решение:

  1. Так как АС перпендикулярен ВС1 и СС1, то АС также перпендикулярен и ВСС1, а значит, и А1С1 перпендикулярен ВСС1. Следовательно, АС перпендикулярен ВС и А1С1 перпендикулярен ВС1, то есть треугольники АСВ и А1С1В - прямоугольные.

  2. Из прямоугольного треугольника АВА1 по теореме Пифагора находим:

 

  Так как АС параллелен А1С1, то углы (А1В, АС) и (А1В, А1С1) - равны. Значит, sin BA1C1 = sin (A1B, AC) = √21/5. Тогда из прямоугольного треугольника А1ВС1 находим:

ВС1 = А1В · sin BA1C1 = 5 · √21/5 = √21

и

  Так как АС = А1С1, то из прямоугольного треугольника АВС следует, что 

 

  3. Пусть Н принадлежит АВ так, что АВ перпендикулярен СС1Н, тогда СН перпендикулярен АВ и С1Н перпендикулярен АВ. Опустим из точки С перпендикуляр СЕ на прямую С1Н. Так как АВ перпендикулярен СЕ (в силу того, что АВ перпендикулярен СС1Н) и СЕ перпендикулярен С1Н, то СЕ перпендикулярен АВС1. Следовательно, угол между плоскостью АС1В и прямой СС1 равен углу СС1Н.

  4. Так как SABC = 1/2 · BC · AC = 1/2 · AB · CH, то СН = (ВС · АС)/АВ = √3. Из прямоугольного треугольника С1СН находим:

tg HC1C = CH/CC1 = 1/√3.

  Поэтому угол НС1С = 30°.

  Ответ: 30.