Сторона ВС основания АВС прямой призмы АВСА₁В₁С₁ равна 20. Расстояние от точки В₁ до прямой АС равно 15, а синус угла между прямыми В₁С₁ и АС равен 3/5. Найдите высоту призмы АВСА₁В₁С₁.

  Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма (см. рисунок), ВС = 20, расстояние от точки В₁ до прямой АС равно 15, sin (В₁С₁, АС) = 3/5.

  Найти: ВВ₁.

  План решения:

  1. Рассмотрим такую точку Н прямой АС, что АС перпендикулярен ВВ₁Н.

  2. Из треугольника ВНС найдем ВН.

  3. Из треугольника ВНВ₁ найдем ВВ₁.

  Решение:

  1. Пусть Н принадлежит АС, так что АС перпендикулярен ВВ₁Н, тогда АС перпендикулярен ВН и АС перпендикулярен В₁Н. Так как В₁Н перпендикулярен АС, то В₁Н - расстояние от точки В₁ до прямой АС и, следовательно, В₁Н = 15.

  2. Так как В₁С₁ параллелен ВС, то угол между В₁С₁ и АС равен углу между ВС и АС. Из этого следует, что синус угла АСВ равен синусу угла между В₁С₁ и АС и равен 3/5. Из прямоугольного треугольника ВСН находим:

ВН = ВС · sin ACB = 20 · 3/5 = 12.

  3. Из прямоугольного треугольника ВВ₁Н находим по теореме Пифагора:

  Ответ: 9.