В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 3, а тангенс двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SMNPQ, где M, N, P, Q - середины сторон основания.

  Решение:

  Пусть SO - высота пирамиды SABCD. М - середина стороны CD, Q - середина стороны AD. SO = OM tg SMO = 3 (см. рисунок).

  Пусть ОН перпендикулярен QM. Тогда OH = 1/4 · BD = 3/2√2.

  QM = 1/2 · AC = 1/2 · BD = 3/√2.

  Из треугольника OSH получаем:

  Так как SNPMQ - правильная, то площадь ее боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему. То есть

S_бокSNPMQ = 1/2 · 4QM · SM = 13,5.

  Ответ: 13,5.