В пирамиде SABC основанием служит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, причём оказалось, что SK - высота пирамиды. Известно, что АВ = 2, ВС = 4, SK = 1. Найдите расстояние от точки К до плоскости ABS.

  Решение:

  Пусть КН перпендикулярен АВ, КН₁ перпендикулярен ВС. Обозначим КН = х. Так как ВК - биссектриса угла В, то Δ КНВ = Δ ВКН₁ и КН = НВ = КН₁ = ВН₁.

  Тогда х = АН · tg HAK = KH₁ = CH₁ · tg KCH₁ (см. рисунок).

  Учитывая, что АН = АВ − НВ = 2 − х, СН₁ = ВС − ВН₁ = 4 − х;

  tg KAH = tg CAB = BC/AB = 2;

  tg KCH₁ = tg ACB = 1/2, получаем:

  (2 − х) · 2 = (4 − х) · 1/2, откуда х = 4/3.

  Пусть КО - перпендикуляр из К на ASB, тогда КО = КН · sin OHK.

  Из прямоугольного треугольника SHK находим:

ОК = 4/3 · 3/5 = 0,8.

  Ответ: 0,8.