Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания длиной 10. Боковая грань удалена от центра основания на расстояние, равное √5. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

  Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида (см. рисунок), АВ = 10, О - центр основания ABCD, расстояние от точки О до грани SBC равно √5.

  Найти: SA.

  Решение:

  Так как пирамида SABCD - правильная, а О - центр ее основания, то SO - высота этой пирамиды. Пусть М - середина ребра ВС, тогда ОМ перпендикулярно ВС. Проведем высоту ОН в треугольнике SOM. Так как ОМ и SO перпендикулярны ВС, то ВС перпендикулярен SOM, и следовательно ВС перпендикулярен ОН. Так как ОН перпендикулярен и ВС и SM, то ОН перпендикулярен SBC. Следовательно, длина высоты ОН равна расстоянию от точки О до грани SBC, то есть ОН = √5. Так как ABCD - квадрат со стороной, равной 10, О - его центр, а М - середина его стороны, то ОМ = 5. Из треугольника ОНМ:

  Из треугольника SOM:

  Из прямоугольного треугольника SMB:

  Ответ: 7,5.