В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°. Точка, удалённая от вершин этого треугольника на расстояние 35, удалена от плоскости треугольника на расстояние 15√5. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника.

  Дано: Треугольник АВС; угол В = 120°; АВ = ВС; SO перпендикулярна АВС; SO = 15√5; AS = BS = CS = 35 (см. рисунок).

  Найти: АВ.

  Решение:

  Так как AS = BS = CS, то АО = ВО = СО = R, (R - радиус описанной окружности около треугольника АВС). Точка О - центр описанной около треугольника АВС окружности и лежит на пересечении серединных перпендикуляров этого треугольника. Из треугольника SBO имеем:

  Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:

  По теореме синусов имеем:

  Ответ: 10.