Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 30°. Найдите 2√3h, где h - высота пирамиды.

  Дано: SABC - пирамида; угол АСВ = 90°; АС = 12; ВС = 5; угол SMO = углу SNO = углу SPO = 30°; h = SO - высота (см. рисунок).

  Найти: 2√3h.

  Решение:

  Так как углы SMO, SNO и SPO - равны, то О - центр вписанной окружности.

S_ABC = 1/2 · AC · BC; S_ABC = 1/2 · P_ABC · r_вп,

  где r_вп - радиус вписанной окружности.

АС · ВС = Р_АВС · r_вп;

r_вп = (АС · ВС)/Р_АВС.

  Из треугольника АВС имеем:

r_вп = (12 · 5)/30 = 2;

МО = 2.

  Из треугольника SMO имеем: SO = MO · tg30°; SO = 2√3/3; 2√3h = 2√3 · 2√3/3 = 4.

  Ответ: 4.