Основание пирамиды - равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 6 и образуют угол в 120°. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания пирамиды под одинаковым углом. Найдите объём пирамиды, если боковое ребро равно 4√3.
Дано: SABC - пирамида, АВ = ВС = 6; угол АВС = 120°; угол SAO = углу SCO = углу SBO; SC = 4√3.
Найти: Vпир.
Решение:
Vпир = 1/3 · SABC · SO.
1) SABC = 1/2 · AB · BC · sin120° = 1/2 · 6 · 6 · √3/2 = 9√3.
2) Угол ВАС = углу ВСА = 30°.
3) Пусть R - радиус описанной окружности около треугольника АВС. Тогда, по теореме синусов,
AB/sin30° = 2R;
6 : 1/2 = 2R;
R = 6.
Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около треугольника АВС.
4) Из треугольника SOC имеем:
Vпир = 1/3 · 9√3 · 2√3 = 18.
Ответ: 18.
