Основание пирамиды - треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 и образуют угол в 60°. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите объём пирамиды, если боковое ребро равно √21.

  Дано: SABC - пирамида, АВ = 6; ВС = 3; угол АВС = 60°; SC = √21; угол SAO = угол SCO = угол SBO (см. рисунок).

  Найти: V_пир.

  Решение:

  1) V_пир = 1/3 · S_осн · SO; S_осн = 1/2 · АВ · ВС · sin ABC = 1/2 · 6 · 3 · sin 60° = 9√3/2.

  2) Пусть R - радиус описанной окружности около треугольника АВС. Тогда, по теореме синусов АС/sin 60° = 2R.

  3) Из треугольника АВС по теореме косинусов имеем:

АС² = АВ² + ВС² − 2АВ · ВС · cos60°;

AC² = 36 + 9 − 2 · 6 · 3 · 1/2;

AC² = 27;

AC = 3√3.

  Тогда имеем:

3√3 / sin60° = 2R;

(3√3 · 2) / √3 = 2R;

R = 3.

  Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около треугольника АВС. Следовательно ОС = R = 3.

  4) Из треугольника SOC имеем:

  5) V_пир = 1/3 · 9√3/2 · 2√3 = 9.

  Ответ: 9.