Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Двугранные углы при основании равны между собой и равны α, причём tg α = 3. Найдите объём пирамиды.

  Дано: SABC - пирамида, угол SKO = углу SMO = углу SNO = α, tg α = 3; угол АСВ = 90°; АС = 8; ВС = 6.

  Найти: V_пир.

  Решение:

  V_пир = 1/3 · S_осн · SO.

  1) S_осн = 1/2 · АС · ВС = 1/2 · 6 · 8 = 24.

  2) S_ABC = 1/2 · P_ABC · r_вп, где Р_АВС - периметр треугольника АВС, r_вп - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

  3) Из треугольника АВС имеем:

  4) Так как двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности. Следовательно, ОК = r_вп = 2. Тогда из треугольника SOK имеем: SO = OK · tg α; SO = 2 · 3 = 6.

  5) V_пир = 1/3 · 24 · 6 = 48.

  Ответ: 48.