{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

  В треугольнике АВС угол А = 30°, точка О - центр вписанной в Δ АВС окружности. Прямые АО и ВО пересекают описанную вокруг Δ АВС окружность в точках М и N соответственно. Найдите величину угла С в градусах, если известно, что АМ = MN.

  Решение:

  Так как О - центр вписанной в Δ АВС окружности, то прямые АМ и BN являются биссектрисами углов А и В треугольника АВС. Пусть градусные меры углов А, В и С равны α, β и γ соответственно. Тогда, угол CAN = углу CBN = β/2 как углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично угол BNA = углу BCA = γ, угол MNB = углу МАВ = α/2. Из условия АМ = MN => угол MAN = углу MNA. Выразим углы MAN и MNA через α, β, γ:

угол MAN = угол МАС + угол CAN = α/2 + β/2

угол MNA = угол MNB + угол BNA = α/2 + γ.

  Отсюда мы имеем: α/2 + β/2 = α/2 + γ; β = 2γ.

  По условию, α = 30°, воспользовавшись соотношением α + β + γ = 180° и равенством β = 2γ, получаем: 3γ = 150°, γ = 50°.

  Ответ: 50.

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}