У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найдите n.

  Решение:

  Сначала напомним, как подсчитать количество натуральных делителей натурального числа n. Разложим это число на простые множители:

n = p^a · q^b · r^c · ... .

  Тогда любой делитель числа n содержит те же простые множители, но, возможно, в меньших степенях - число р может быть в степени от 0 до а, число q - в степени от 0 до b, и т.д.

  Таким образом, а + 1 вариантов для степени числа р комбинируются с b + 1 вариантами для степени числа q и т.д.

  Всего получается (a + 1)(b + 1)(c + 1) ...  делителей.

  Так как у числа n ровно 6 натуральных делителей, то оно имеет вид

n = p⁵ или n = p¹ · q².

  Простых делителей больше двух быть не может, так как уже для трёх делителей в наименьших степенях число n имеет больше шести делителей:

1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr.

  Покажем, что первый случай невозможен. Так как

1 + p + p² + p³ + p⁴ + p⁵ = 3500,

то p + p² + p³ + p⁴ + p⁵ = p(1 + p² + p³ + p⁴) = 3499.

  Но 3499 - простое число, поэтому сумма всех делителей числа n (включая единицу и само число n) не может равняться 3500.

  Рассмотрим второй случай. Пусть n = p¹ · q². Тогда сумма всех его делителей числа n равна

1 + p + q + pq + q² + pq² = (1 + q + q²)(1 + p) = 3500 = 2² · 5³ · 7.

  Заметим, что число 1 + q + q² = 1 + q(q + 1) - нечётное.

  Нечётных делителей (отличных от единицы) у числа 3500 всего семь - 5, 7, 25, 125, 35, 175, 875. Только в случае 1 + q + q² = 7 мы найдём натуральное значение q = 2, а затем вычислим р = 499 (это число простое), откуда n = 1996.

  Процесс перебора можно сократить, если заметить, что для делителей, кратных пяти, дискриминант оканчивается на 7 и не может быть квадратом натурального числа.

  Ответ: 1996.