Решите в натуральных числах уравнение

 

  где m > n.

  Данная задача может быть включена как задание 21 в варианты ЕГЭ по математике.

 

  Решение:

  I способ

  Так как m и n натуральные числа, то для решения задачи требуется решить в натуральных числах уравнение

25n + 25m = mn,         (2)

  где m > n.

  При n = 25 равенство (2) неверно, поэтому из равенства (2) можно выразить неизвестную m:

  Теперь очевидно, что m является натуральным числом при n > 25 лишь в случаях:

  1) n − 25 = 1,

  2) n − 25 = 5,

  3) n − 25 = 5²,

  4) n − 25 = 5³,

  5) n − 25 = 5⁴.

  Но при этом условие m > n будет выполнено лишь в случаях:

  1) m = 650, n = 26 и

  2) m = 150, n = 30.

 

  II способ (В.И. Романовский)

  Воспользуемся правилом разложения обыкновенной дроби на сумму двух аликвотных дробей (дробей с числителем 1).

  Умножим числитель и знаменатель аликвотной дроби на сумму двух взаимно простых делителей её знаменателя. Полученную дробь заменим суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым вышеупомянутой суммы. После сокращения дробей (или одной дроби) получится сумма аликвотных дробей.

  Если знаменатель исходной дроби составное число, то количество возможных вариантов замены исходной аликвотной дроби суммой двух аликвотных дробей равно числу пар взаимно простых делителей знаменателя исходной дроби.

  Правомерность этого метода подтверждается следующими преобразованиями.

  Например,

  У знаменателя дроби 1/25 имеются две пары взаимно простых делителей: 1 и 5; 1 и 25. Следовательно, данная дробь может быть представлена суммой двух аликвотных дробей двумя способами.

 

 

Ответ: m = 650, n = 26 или m = 150, n = 30.