Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.

 

  Решение:

  I способ

  Из первых степеней двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... числа 32 и 64 удовлетворяют условию задачи. Зачеркнуть цифру 3 числа 32, значит, из числа 32 вычесть 3 · 10, т.е. 32 − 3 · 10 = 2, откуда получим

2(2⁴ − 1) = 3 · 10.

  Зачеркнуть цифру 6 числа 64, значит, из числа 64 вычесть 6 · 10, т.е.

64 – 6 · 10 = 4,

откуда получим

2²(2⁴ − 1) = 6 · 10.

  Таким образом, для искомой степени двойки должно выполняться равенство

2^m(2ⁿ − 1) = p · 10^k,          (1)

  где k - количество цифр в десятичной записи искомой степени двойки после зачеркнутой цифры р.

  В правой части равенства (1) содержатся множители 5, в левой части того же равенства они могут содержаться только в числе 2ⁿ − 1 (при условии n = 4r, r - натуральное число).

  Утверждение "число 2^4r − 1, r - натуральное число, делится на 5" следует из того, что

2^4r − 1 = 16^r − 1 = (16 − 1)(16^{r − 1} + ... + 1) = 15(16^{r − 1} + ... + 1).

  Из этого утверждения следует, что числа

2^{4r + 1} − 1 = 2(2^4r − 1) + 1,

2^{4r + 2} − 1 = 4(2^4r − 1) + 3,

2^{4r + 3} − 1 = 8(2^4r − 1) + 7

  - не делятся на 5.

  Следовательно, число 2ⁿ − 1 делится на 5 лишь при n = 4r, где r - натуральное число.

  При r = 1 имеем

2^4r − 1 = 2⁴ − 1 = (2² − 1)(2² + 1) = 3 · 5.

  Именно для этого случая мы получили два числа 32 и 64.

  При r > 1 имеем 2^4r − 1 = (2^2r − 1)(2^2r + 1).

  Ни одно из чисел 2^2r − 1 или 2^2r + 1 не делится на 2. Если одно из них делится на 5, то второе не делится на 5, так как их разность 2 не делится на 5. Тогда это второе число не делится ни на 2, ни на 5 и оно больше 15, т.е. больше числа р. Поэтому равенство

2^m(2^2r − 1)(2^2r + 1) = p · 10^k

  невозможно ни при каких натуральных m и k.

  Это означает, что условию задачи удовлетворяют лишь два числа: 32 и 64.

 

  II способ

  Заметим, что последние цифры натуральных степеней двойки образуют цикл с шагом 4:

2 → 4 → 8 → 6 → 2 → ... .

  Следовательно, если в десятичной записи степеней двоек совпадают последние цифры, то частное от деления этих степеней равно 2^4r = 16^r, где r - натуральное число. Так как эти степени двойки (и только они) оканчиваются на 6, то

2^4r − 1 = 16^r − 1

  делится на 5.

  Пусть после зачёркивания первой цифры получилось число 2^m, тогда искомое число равно

2^{m + 4r}.

  По условию задачи

2^{m + 4r} − 2^m = 2^m(2^4r − 1) = p · 10^k.

  Покажем, что в нашем случае r = 1.

  Как уже было сказано, левая часть равенства

2^4r − 1 = (2^2r − 1)(2^2r + 1)

  делится на 5. Множители из правой части отличаются на 2, поэтому лишь один из них делится на 5. Тогда второй множитель - нечётное число, не делящееся на 5. Этот множитель должен быть делителем однозначного числа р. Но при r > 1 этот делитель будет не меньше 15.

  При r = 1 получаем

2^m(2⁴ − 1) = 15 · 2^m = 3 · 5 · 2^m = p · 10^k.

  Нуль на конце возникает только при перемножении 2 и 5, поэтому он единственный. При этом

p = 2^{m − 1} · 3 < 10,

  следовательно, m = 1 или m = 2.

  Получается, что условию задачи удовлетворяют лишь два числа: 32 и 64.

  Ответ: 32, 64.