Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 10, а площадь сечения, параллельного боковой грани и проходящего через центр основания, равна 6√29. Найдите сторону основания пирамиды.

  Решение:

  Пусть АВ = х, х > 0. Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то АС = х√2, НС = х√2/2. Из треугольника SHC получаем:

KL = AB = x, MN = 1/2 · KL = x/2.

  Сечение MNLK представляет собой равнобедренную трапецию (см. рисунок).

Следовательно, КТ = (KL − MN)/2 = x/4. Из треугольника КМТ:

  По условию S_KMNL = 6√29, значит, 

400х² + х⁴ = 2¹⁰ · 29;

х⁴ + 2⁴ · 5²х² − 2¹⁰ · 29 = 0.

  Пусть х² = t, t > 0, тогда t² + 2⁴ · 5²t − 2¹⁰ · 29 = 0.

  Учитывая, что t > 0, получаем:

t = (−400 + 2⁴ · 3 · 11) / 2 = 64.

  Тогда х² = 64, х = 8, значит, сторона основания равна 8.

  Ответ: 8.