В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и ВС равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника АОВ равна 6. Найдите площадь трапеции.
Дано: ABCD - трапеция (см. рисунок), AD : ВС = 3 : 1; О - точка пересечения диагоналей, SAOB = 6.
Найти: SABCD.
Решение:
1. SABD = SABO + SAOD; SACD = SCOD + SAOD. Так как SABD = SACD = (H · AD)/2, то SABO + SAOD = SCOD + SAOD; SABO = SCOD.
2. Из подобия треугольников ВОС и AOD следует: SBOC/SAOD = k2 = 1/9, где k - коэффициент подобия; SAOD = 9SBOC.
3. Так как ОС = АО/3, то SBOC = h/2 · OC = 1/2 · h · 1/3 · AO = 1/3 · SAOB = 1/3 · 6 = 2. SΔAOB = 3SΔBOC. Получим:
SABCD = SΔAOB + SΔBOC + SΔCOD + SΔAOD = 6 + 2 + 6 + 18 = 32.
Ответ: 32.