В параллелограмме ABCD биссектрисы углов В и С пересекаются в точке L, лежащей на стороне AD. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если известно, что CL = 12, а площадь треугольника ABL равна 15.

  Решение:

  1) Угол CLD равен углу BCL как накрест лежащие углы при параллельных прямых (см. рисунок).

  Так как CL - биссектриса угла С, то есть угол DCL равен углу BCL. Получаем угол CLD равен углу DCL; DL = CD.

  Аналогично AL = AB. Поскольку АВ = CD, как противоположные стороны параллелограмма, то AL = DL, и, значит, AL = AD/2. Пусть h - высота параллелограмма ABCD, проведенная к стороне AD.

  Тогда S_ABCD = h · AD, S_ABL = h/2 · AL = h/4 · AD.

  Следовательно, S_ABCD = 4S_ABL = 60.

  Отметим также, что для периметра р параллелограмма ABCD имеем выражение:

p = 2(AB + AD) = 2 · 3AD/2 = 3AD = BC.

  2) Угол BCL равен половине угла С, угол CBL равен половине угла В, сумма углов В и С равна 180°. Значит сумма углов BCL и CBL равна 90°, угол BLC = 180° − угол BCL − угол CBL = 90°. Следовательно, треугольник BCL - прямоугольный. 

  Значит, 2S_BCL = BL · CL = h · BC = S_ABCD = 60, BL = 60/CL = 5.

  Из треугольника BCL по теореме Пифагора имеем:

  Итак, р = 3ВС = 39.

  Ответ: 39.