В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к боковой стороне, делит её в отношении 5 : 8, считая от вершины. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2.
Дано: АВС - равнобедренный треугольник (см. рисунок), АВ = ВС, AD - биссектриса треугольника АВС, BD : DC = 5 : 8, радиус r вписанной окружности треугольника АВС равен 2.
Найти: АС.
Решение:
По свойству биссектрисы АВ/АС = BD/DC = 5/8 => АВ = 5/8 · АС.
Пусть АС = х, х > 0, тогда АВ = ВС = 5/8х.
r = SABC/p, где р - полупериметр Δ АВС, то есть
Пусть Н - середина стороны АС. Так как АВ = ВС, то ВН и АС - перпендикулярны.
Следовательно, SABC = 1/2 · BH · AC = 3/16 · x2.
Таким образом,
По условию r = 2, поэтому х/6 = 2; х = 12.
Ответ: 12.
