Найдите все пары натуральных чисел а и b, удовлетворяющих равенству

a^b + 27 = ab

  (в правой части стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа а перед десятичной записью числа b).

  Решение:

  Если а = 1, то решений нет. Пусть теперь а > 1.

  Разберём сначала случай, когда b - однозначное число. Тогда

a^b + 27 = 10a + b;

a(10 − a^{b − 1}) = 27 − b > 0.

  При b = 4 получается, что (10 − a^{b − 1}) < 0, а правая часть при однозначных b положительна. Перебираем четыре оставшихся случая. Подходит только b = 2, тогда а = 5. Возможно, что за рассмотрение случая однозначного b, ученик мог получить 2 балла из 4-х. Но ведь мы хотим больше? Тогда идём дальше. Надо показать, что других решений нет. Пусть b ≥ 10.

  Пусть а - n-значное число, и b - k-значное. Последовательно получаем:

  Учитывая, что

  получаем (последовательно усиливая неравенства):

b(n − 1) < n + k.

  Теперь группируем:

b(n − 1) < n + k + 1 − 1,  (b − 1)(n − 1) < k + 1.

  Если число не однозначное, оно заметно превосходит количество знаков своей десятичной записи, другими словами, b > k. Нам хватит оценки b ≥ k + 8.

  Получаем (k + 7)(n − 1) < k + 1. Это возможно, только если а - однозначное число. Случай однозначного а надо разобрать отдельно. Для n = 1 наши "усиления" неравенств оказались слишком грубыми. Итак, а - однозначное число, n = 1.

  Так как

то получаем:

0,3 · 10^{k − 1} < k + 1,

или

3 · 10^k < 100(k + 1).

  При k = 2 получаем 300 < 300, неравенство уже не выполняется, не выполнится оно и при k > 2, так как с ростом k левая часть растет намного быстрее, чем правая. Мы показали, что других решений, кроме a = 5, b = 2, нет.

  Ответ: a = 5, b = 2.