При каких натуральных n существует рациональное число x, удовлетворяющее равенству

n² + 2 = (2n − 1)^x ?

  Решение:

  Так как при всех натуральных n верно неравенство

(n² + 2) > (2n − 1),

  то искомое число x = k/m больше единицы, откуда k > m.

  Для чисел, удовлетворяющих условию задачи, равенство

(n² + 2)^m = (2n − 1)^k

  определяет натуральное число, единственным образом разлагаемое на простые множители. Это значит, что в разложении на простые множители числа (2n − 1) присутствуют все простые множители числа (n² + 2), но в меньших степенях. Это значит, что (n² + 2) делится на (2n − 1).

  Следовательно,

n² + 2 = d(2n − 1),

  где d - натуральное число.

  Рассмотрим квадратное уравнение относительно n:

n² − 2dn + (d + 2) = 0.

  Его дискриминант, делённый на 4, должен быть квадратом натурального числа, которое обозначим j (убеждаемся, конечно, что при равном нулю дискриминанте чисел, удовлетворяющих исходному равенству, нет):

d² − d − 2 = j².

  Тогда (d − j)(d + j) = d + 2. Но j = 1 не дает нам натурального d и, следовательно, натурального n. При j = 2 имеем d = 3, откуда находим, что n = 5, x = 1,5 (при n = 1, втором корне квадратного уравнения, исходное уравнение не имеет решений).

  Если j > 2, то левая часть равенства

(d − j)(d + j) = d + 2

  больше правой, так как

d + j > d + 2,

  да ещё умножается на натуральное число (d − j). То есть для j > 2 равенство

(d − j)(d + j) = d + 2

  невозможно.

  Итак, лишь при n = 5 исходное уравнение имеет рациональный корень.

  Ответ: При n = 5.