Найдите все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие уравнению 1/m + 1/n = 1/12.

  Решение:

  Будем считать для определенности, что m ≤ n. Приведём данное уравнение сначала к виду

12m + 12n = mn,

затем к виду

(m − 12)(n − 12) = 2⁴ · 3².

  Отметим, что числа (m − 12) и (n − 12) разной чётности, причём

(m − 12) ≤ (n − 12).

  Возможны лишь три случая:

  1) m − 12 = 1, n − 12 = 144;

  2) m − 12 = 3, n − 12 = 48;

  3) m − 12 = 9, n − 12 = 16.

  Для них получаем три пары натуральных решений (m; n):

(13; 156), (15; 60), (21; 28).

  Покажем, что 4-й случай, когда m − 12 и n − 12 оба отрицательны, невозможен. Действительно,

(m − 12)(n − 12) = (12 − m)(12 − n) < 12²,

  так как каждый множитель в этом случае меньше 12.

  Отметим, что мы нашли все пары чисел (m; n) при условии m ≤ n, ранее нашли ещё три пары: (156; 13), (60; 15) и (28; 21).

  Ответ: (13; 156), (15; 60), (21; 28), (156; 13), (60; 15), (28; 21).