Найдите все такие натуральные n, что при вычёркивании первой цифры у числа 4ⁿ снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4.

Решение:

  Заметим, что последние цифры натуральных степеней четверки образуют цикл с шагом 2:

4 → 6 → 4 → 6 → 4 → ... .

  Следовательно, если в десятичной записи степеней четвёрок совпадают последние цифры, то частное от деления этих степеней равно

4^2r = 16^r,

  где r - натуральное число. Так как эти степени четвёрки (и только они) оканчиваются на 6, то 4^2r − 1 = 16^r − 1 делится на 5.

  Тогда после зачеркивания первой цифры десятичной записи числа 4ⁿ получилось число 4^{n − 2r}. По условию задачи

4ⁿ − 4^{n − 2r} = 4^{n − 2r}(4^2r − 1) = p · 10^k.

  Покажем, что в нашем случае r = 1. Как уже было сказано, число

4^2r − 1 = (4^r − 1)(4^r + 1)

  делится на 5. Множители из правой части последнего равенства отличаются на 2, поэтому лишь один из них делится на 5. Тогда второй множитель - нечётное число, не делящееся на 5. Этот множитель должен быть делителем однозначного числа р. Но при r > 1 этот делитель будет не меньше 15-ти.

  При r = 1 получаем

4^{n − 2}(4² − 1) = 4^{n − 2} · 15 = 4^{n − 2} · 3 · 5 = p · 10^k.

  Нуль на конце возникает только при умножении 2 и 5, поэтому он единственный. Кроме того,

p = 4^{n − 3} · 3 < 10,

  следовательно, n = 3. Получается, что условию задачи удовлетворяет лишь число 64 = 4³.

  Ответ: n = 3.