Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

  Решение:

  Полезно заметить, что если у числа n нечётное количество делителей, то оно - квадрат натурального числа.

  Мы уже знаем, что число, имеющее ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число), представимо в виде

n = p¹⁴

или в виде

n = p²q⁴.

  Так как число оканчивается на 0, оно делится и на 2, и на 5, поэтому первый случай невозможен. Во втором случае находим два числа, удовлетворяющие условиям задачи:

n₁ = 2² · 5⁴ = 2500

n₂ = 2⁴ · 5² = 400.

  Ответ: 400 и 2500.