Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
Решение:
Искомое произведение нескольких простых чисел должно быть чётным, поскольку оно делится на каждый простой множитель, уменьшенный на 1. Следовательно, первый простой множитель р1 = 2. Вторым по величине простым множителем может быть только р2 = 3, иначе произведение р1р2 не разделится на (р2 − 1). Итак, первое произведение найдено: р1р2 = 6. Пусть имеется ещё некоторый простой множитель р3. Так как р3 и (р3 − 1) - взаимно простые числа, то на (р3 − 1) должно разделиться р1р2, равное 6. Получаем, что р3 = 7. Тогда второе произведение есть р1р2р3 = 42.
При подборе р4 возможностей больше: ведь на число (р4 − 1) должно разделиться произведение трёх чисел р1р2р3 = 42. Но (р2р3 + 1) - чётное число, р1р3 + 1 = 15 - составное, варианты без р3 уже использованы при подборе того же р3. Удаётся подобрать р4 = р1р2р3 + 1 = 43. Получаем третье возможное произведение р1р2р3р4 = 1806.
Подобрать ещё хотя бы один множитель р5 уже не удаётся. Пробуя все возможные комбинации из уже отобранных простых чисел так, чтобы их произведение делилось на р5 − 1, получаем составные числа.
Так, р1р2р3р4 + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 139 · 13 - составное число.