ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА, ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Каждое из неравенств вида Ах > В, Ах < В, АХ ≥ В или АХ ≤ В, где А и В - действительные числа или функции от параметров, а х - действительная переменная величина, называют линейным неравенством с одним неизвестным х.
Например, неравенство (b − 2)x < 4b - линейное относительно х. При b = 2 х - любое число, при b > 2 х < 4b / (b − 2), при b < 2 х > 4b / (b − 2).
1. Решите неравенство:
Решение: По смыслу задачи а ≠ 1. Преобразуем неравенство:
При а = 1 решений нет.
1) а − 1 > 0, т.е. а > 0, тогда получившееся неравенство равносильно неравенству 3х(4 − а) + а − 1 < 0 или 3х(4 − а) < 1 − а.
а) 4 − а = 0, а = 4, х · 0 < −3; решений нет.
б) 4 − а > 0, а < 4, х < (1 − а) ÷ 3(4 − а), х < (а − 1) ÷ 3(а − 4).
Отсюда при 1 < а < 4 х < (а − 1) ÷ 3(а − 4).
в) 4 − а < 0, а > 4 х > (а − 1) ÷ 3(а − 4). Тогда при а > 4 х > (а − 1) ÷ 3(а − 4).
2) а − 1 < 0, т.е. а < 1, тогда получившееся неравенство равносильно неравенству 3х(4 − а) + а − 1 > 0 или 3х(4 − а) > 1 − а.
а) 4 − а = 0, а = 4, 0 · х > −3, х - любое, но так как а < 1, то неравенство 3х(4 − а) > 1 − а решений не имеет.
б) 4 − а > 0, а < 4, х > ((1 − а) ÷ 3(4 − а)) => х > ((а − 1) ÷ 3(а − 4))
Учитывая, что а < 1, получим, что при а < 1:
в) 4 − а < 0, а > 4, но так как а < 1, то рассматривать неравенство 3х(4 − а) > 1 − а не имеет смысла.
Ответ:
при а < 1 и при а > 4
при 1 < а < 4
при а = 1 и при а = 4 решений нет.
2. Решите неравенство: (3)
Решение:
По смыслу задачи х ≠ 3.
Преобразуем неравенство (3):
Неравенство (4) равносильно неравенству (3) и сводится к совокупности двух систем:
Решаем систему (4а). Рассмотрим первое неравенство х(2 − а) < 12 − 9а.
1) а = 2, х · 0 < −6; нет решений.
2) 2 − а > 0, а < 2,
Итак, при а < 2
3) 2 − а < 0, а > 2,
Итак, при а > 2
Для выбора решения каждой из систем сравним величины:
Для этого рассмотрим разность
при 1 < а < 2.
((6а − 6) ÷ (а − 2)) > 0 при а < 1 и при а > 2, следовательно,
при 1 < а < 2;
при а < 1 и при а > 2.
Тогда следует решение (5) и при 1 < а < 2 нет решений, при а < 1
Система (6) имеет решение при а > 2:
Аналогично рассмотрим решение системы (4б). (2 − а)х > 12 − 9а.
1) а = 2, 0 · х > −6, х - любое число, кроме х = 3.
2) 2 − а > 0,
Итак, при а < 2
3) 2 − а < 0, а > 2,
При а > 2
Решаем системы (7) и (8), зная, что
при 1 < а < 2.
Если а = 1, 1 − 1/2 < 1 − 1/2; решений нет.
при а < 1 и при а > 2.
При 1 < а < 2 система (7) имеет решение
При а < 1 система (7) не имеет решений.
При а > 2 система (8) имеет решение х < 3.
Ответ:
при а < 1
при а = 1 решений нет;
при 1 < а < 2
при а = 2 х ε (−∞; 3) υ (3; +∞);
при а > 2 х ε (−∞; 3) или
