ТЕСТ ЕГЭ - 2016 ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ВАРИАНТ 2
Часть 1
1. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?
2. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая - 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
5. Найдите корень уравнения
6. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 8, tg A = 0,5. Найдите ВС.
7. На рисунке изображен график y = f'(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны 5/п. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Часть 2
9. Найдите значение выражения
10. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t2, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?
11. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наименьшее значение функции
y = 9cosx + 14x + 7
на отрезке [0; 3π/2].
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].
14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N - середина ребра АС, точка О - центр основания пирамиды, точка Р делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой NP.
15. Решите неравенство
16. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
17. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых любое число из отрезка 2 ≤ х ≤ 3 является решением уравнения
19. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
