Сторона правильного шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆ равна

  Биссектриса угла А₆А₂А₃ пересекает сторону А₄А₅ в точке О. Найдите площадь треугольника А₂А₅О.

  Дано: А₁А₂А₃А₄А₅А₆ - правильный шестиугольник (см. рисунок), 

  Найти: S_A2A5O.

  Решение:

  1. Так как шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆ - правильный, то все его углы равны 120°. Треугольник А₁А₂А₆ - равнобедренный, поэтому

  Аналогично угол А₃А₂А₄ = 30°. Угол А₆А₂А₃ = 120° − 30° = 90°. Так как А₂А₅ - ось симметрии шестиугольника, то А₂А₅ - биссектриса угла А₁А₂А₃ и угол А₃А₂А₅ = 60°, А₆А₂А₅ = 90° − 60° = 30°. Так как А₂О - биссектриса угла А₆А₂А₃ и угол А₆А₂А₅ = углу А₃А₂А₄, то А₂О - биссектриса угла А₅А₂А₄.

  2. Обозначим длину стороны шестиугольника через а. Тогда по теореме косинусов из треугольника А₂А₃А₄ следует, что

  В силу того, что

  из прямоугольного треугольника А₂А₄А₅ находим

  Так как А₂О - биссектриса в треугольнике А₂А₄А₅, то по свойству биссектрисы

  Ответ: 3.