1. Дан выпуклый двенадцатиугольник А₁А₂...А₁₂. Сколько общих точек с прямой А₃А₈ имеет ломаная А₄А₁₁...А₁₂?

  Ответ: 2.

  2. Дан невыпуклый двенадцатиугольник А₁А₂...А₁₂. Сколько общих точек с прямой А₃А₈ имеет ломаная А₄А₁₁А₁₂?

  Ответ: 4.

  3. Дан выпуклый восьмиугольник А₁А₂...А₈. Сколько всего диагоналей выходят из его вершин А₁ и А₅?

  1) 14

  2) 10

  3) 8

  4) 9

  5) нельзя определить

  Ответ: 4.

  4. Найдите сумму всех углов выпуклого восемнадцатиугольника А₁А₂...А₁₈.

  1) 2880°

  2) 360°

  3) 3240°

  4) 6480°

  5) нельзя определить

  Ответ: 1.

  5. Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 1 : 4 : 6 : 7. Найдите величины этих углов.

  Ответ: 20°, 80°, 120°, 140°.

  6. Дан пятиугольник ABCDE, угол В = 40°, угол С = 20°, угол D = 190°, угол Е = 30°. Найдите величину угла А.

  Ответ: 260°.

  7. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый семиугольник?

  Решение:

  Пусть a_i, i = 1, 2, ..., 7 углы выпуклого семиугольника и a_i, i = 1, 2, 3, 4 - острые углы.

  Значит, а₅ + а₆ + а₇ > 540° и значит, хотя бы один из этих углов больше развёрнутого. Поэтому четырёх острых углов быть не может. Приведём пример семиугольника с тремя острыми углами: 50°, 75°, 175°, 175°, 175°, 175°, 75°.

  Ответ: 3.