Найдите все натуральные n, при каждом из которых число

n² + 5n + 16

  делится нацело на 169.

  Решение:

  Если данное число делится на 169 = 13², то оно делится и на 13.

  Так как n² + 5n + 16 = (n + 9)(n − 4) + 52, а 52 делится на 13, то и произведение (n + 9)(n − 4) также делится на 13 (простое число!). Поэтому хотя бы один из его сомножителей (n + 9 или n − 4) должен делиться на 13.

  Так как (n + 9) − (n − 4) = 13, то сразу оба числа (n + 9) и (n − 4) делятся на 13. Следовательно, их произведение делится на 169, а так как 52 не делится на 169, то и сумма (n + 9)(n − 4) + 52 не делится на 169.

  Ответ: Таких чисел нет.