Решите в целых числах уравнение

m⁴ − 2n² = 1            (1)

  Решение:

  Заметим, что m - нечётное число, и что знаки m и n можно выбирать произвольно, так как если (m; n) - решение уравнения (1), то (−m; n), (m; −n), (−m; −n) - тоже решения уравнения (1). Договоримся искать неотрицательные решения.

  Пусть m = 2t + 1, тогда:

(m⁴ − 1) = (m − 1)(m + 1)(m² + 1) =

= 2t(2t + 2)(4t² + 4t + 2) = 2n².

  Тогда

4t(t + 1)(2t² + 2t + 1) = n²,

  получается, что n - чётное число.

  Пусть n = 2z, тогда

t(t + 1)(2t² + 2t + 1) = z².

  Числа t, t + 1, и 2t² + 2t + 1 = 2t(t + 1) + 1 попарно взаимно просты, а их произведение - полный квадрат. Отсюда следует, что каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t = 0, иначе t + 1 не будет квадратом! Тогда и z = 0, получаем, что m = ±1, n = 0.

  Ответ: m = ±1, n = 0.