Найдите все пары пятизначных чисел х, у такие, что число
полученное приписыванием десятичной записи числа у после десятичной записи числа х, делится на ху.
Решение:
По условию задачи число
делится на ху, т.е. верно равенство
105х + у = рху, (1)
где р - натуральное число.
Перепишем равенство (1) в виде
105х = (рх − 1)у. (2)
Так как рх − 1 взаимно просто с х, то у делится на х, то есть у = qx, где q - натуральное число, меньшее 10 (в противном случае у не пятизначное число).
Заменив в равенстве (1) у на qx, разделив полученное равенство на х, имеем:
105 + q = pqx. (3)
Так как 105 = (рх − 1)q, то 105 делится на q. Число 105 имеет делители, меньшие 10: 1, 2, 4, 5, 8.
Рассмотрим случаи q = 1, q = 2, q = 4, q = 5, q = 8.
1) Если q = 1, то равенство (3) имеет вид: рх = 100001. Первыми делителями числа 100001 являются 1 и 11, но при р = 1 и при р ≥ 11 число х не пятизначное.
2) Если q = 2, то равенство (3) имеет вид: рх = 50001. Первыми делителями числа 50001 являются числа 1, 3 и 7.
При р = 1 имеем: х = 50001, у = 100002, число у не пятизначное.
При р = 3 имеем: х = 16667, у = 2 · 16667 = 33334.
При р ≥ 7 число х не пятизначное.
Итак, числа х = 16667, у = 33334 удовлетворяют условиям задачи.
3) Если q = 4, то равенство (3) имеет вид: рх = 25001. Первыми делителями числа 25001 являются числа 1 и 23.
При р = 1 имеем: х = 25001, у = 100004, число у не пятизначное.
При р ≥ 23 число х не пятизначное.
4) Если q = 5, то равенство (3) имеет вид: рх = 20001.
При р = 1 имеем: х = 20001, у = 100005, число у не пятизначное.
При р > 1 число х не пятизначное.
5) Если q = 8, то равенство (3) имеет вид: рх = 12501.
При р = 1 имеем: х = 12501, у = 100008, число у не пятизначное.
При р > 1 число х не пятизначное.
Итак, в случаях 1), 3) - 5) не существует чисел х и у, удовлетворяющих условию задачи. Задача имеет единственное решение: х = 16667, у = 33334.
Ответ: х = 16667, у = 33334.
