В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено под углом φ к плоскости основания. Найдите расстояние между боковым ребром и серединой противоположной стороны, если объём пирамиды равен 16√3 и cosφ = 1/3.

  Решение:

  Рассмотрим правильную треугольную пирамиду DABC с треугольником АВС в основании, удовлетворяющую условию (см. рисунок).

  Так как пирамида правильная, то треугольник АВС - равносторонний. Обозначим через а длину стороны треугольника АВС, тогда АВ = АС = ВС = а, а > 0.

S_ABC = 1/2 · AB · AC · sinABC = 1/2 · a² · sin60° = √3a²/4.

  Пусть М - середина ребра АС, тогда ВМ - высота треугольника АВС:

ВМ = АСsin60° = √3a/2.

  Обозначим через Н - центр треугольника АВС, тогда ВН = 2/3 · ВМ = √3а/3, DH - высота пирамиды, угол DBH - угол между ребром DB и плоскостью основания, т.е. угол DBH = φ. Из треугольника DHB:

DH/BH = tgφ;

DH = tgφ · √3a/3.

  Так как

то tg φ = 2√2.

  Тогда объем данной пирамиды

V = 1/3 · DH · S_ΔABC = a³/12 · tg φ = a³√2/6 = 16√3 => a = 2√6.

  Обозначим через К основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ребро DB => ΔMKB - прямоугольный => MK/BM = sin φ =>

MK = BMsinφ = sinφ · √3a/2 = 2√2/3 · √3/2 · 2√6 = 4.

  Таким образом, расстояние между боковым ребром и серединой противоположной стороны равно 4.

  Ответ: 4.