ТЕСТ ЕГЭ - 2015 ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ВАРИАНТ 4
ЧАСТЬ 1
1. Флакон шампуня стоит 190 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
2. На диаграмме показана средняя температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - средняя температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной средней температурой в Симферополе в 1988 году.
3. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.
| Салон |
Цена телефона, руб. |
Первоначальный взнос, в процентах от цены |
Срок кредита, мес. |
Сумма ежемесячного платежа, руб. |
| Эпсилон | 10500 | 10 | 6 | 1960 |
| Дельта | 11600 | 5 | 6 | 2040 |
| Омикрон | 12700 | 20 | 12 | 860 |
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.
4. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
6. Найдите корень уравнения
7. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
8. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(х) в точке х0.
9. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
ЧАСТЬ 2
10. Найдите значение выражения
11. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры:
Р = σST4
где σ = 5,7 · 10-8 - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура Т - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь
а излучаемая ею мощность Р равна 4,104 · 1027 Вт. Определите температуру этой звезды. Ответ выразите в градусах Кельвина.
12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра ВС, S - вершина. Известно, что АВ = 6, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка SM.
13. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 44 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 21 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
14. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [−6; −2].
15. а) Решите уравнение 4sin42x + 3cos4x −1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п; 3п/2].
16. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
17. Решите неравенство
18. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 - середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2 вдвое меньше площади треугольника АВС.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
19. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
21. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
